Riemannova funkce zeta

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''Riemannova funkce zeta''', označovaná pomocí [[řecká abeceda|řeckého písmene]] [[zéta|ζ]] jako ζ(s), je důležitý pojem v analytické [[Teorie čísel|teorii čísel]]. Zavedl ji v roce 1859 německý matematik Bernhard&nbsp;Riemann. Tato funkce je ústředním pojmem tzv. [[Riemannova hypotéza|Riemannovy hypotézy]], která patří k [[Problémy tisíciletí|nejdůležitějším nevyřešeným problémům současné matematiky]]. == Definice == Zeta funkce je definována jako součet [[Řada (matematika)|nekonečné řady]] (zvané zpravidla Dirichletova řada): <big>\(\zeta (s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \dots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}\)</big> Tato řada konverguje pro všechna [[komplexní čísla]], jejichž reálná část je větší než 1, a [[Bernhard Riemann|Riemann]] ukázal, jak lze tuto funkci rozšířit na množinu všech komplexních čísel různých od 1. == Vlastnosti == Je-li ''s ≤ 1'', řada diverguje: * je-li ''s = -1'', pak :<big>\(\zeta(s) = 1 + 2 + 3 + \dots = \infty \)</big> * je-li ''s = 0'', pak :<big>\(\zeta(s) = 1 + 1 + 1 + \dots = \infty\)</big> * je-li ''s = 1/2'', pak :<big>\(\zeta(s) = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots = \infty\)</big> * je-li ''s = 1'', pak :<big>\(\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots = \infty\)</big>, což je tzv. ''harmonická řada'' Je-li ''s > 1'', řada absolutně konverguje: * je-li ''s = 2'', pak :<big>\(\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1,645\)</big> Zeta funkce je pro <big>\(s > 1\)</big> rovna tzv. Eulerovu součinu: :<big>\(\zeta(s) = \prod_{p \in P} \frac{1}{1-p^{-s}}\)</big>, kde ''P'' je [[množina]] všech prvočísel. Tento součin se poprvé objevil, i když v trochu jiném tvaru, v článku s názvem [[Variae observationes circa series infinitas]] („Různé poznámky o nekonečných řadách“) napsaném Leonhardem Eulerem <ref>{{citace monografie | jméno = C. E. | příjmení = Sandifer | titul = The Early Mathematics of Leonhard Euler | vydavatel = The Mathematical Association of America | rok = 2007 }}</ref>. <br /> Důkaz této rovnosti je vlastně postup, jakým Leonhard Euler k této souvislosti došel, a je následující: <br /> Funkce zeta na levé straně je pro připomenutí ve tvaru :<big>\(\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\dots\)</big> Nyní vynásobíme obě strany rovnosti číslem <big>\(1/2^s\)</big> a dostaneme :<big>\(\frac{1}{2^{s}}\zeta(s)=\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+\frac{1}{10^{s}}+\dots\)</big> Tento výraz odečteme od předchozího, což nám dá :<big>\((1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\dots\)</big> Odečtení vyloučilo všechny členy se sudým jmenovatelem a zůstaly nám jen členy s lichým jmenovatelem.<br />Pokračujeme tak, že obě strany vynásobíme číslem <big>\(1/3^s\)</big>: :<big>\(\frac{1}{3^{s}}(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\frac{1}{27^{s}}+\dots\)</big> Nyní odečteme tento výraz od předchozího: :<big>\((1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\dots\)</big> Z nekonečného součtu zmizely všechny násobky tří. Dále vynásobíme obě strany číslem <big>\(1/5^s\)</big>: :<big>\(\frac{1}{5^{s}}(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\frac{1}{35^{s}}+\frac{1}{55^{s}}+\frac{1}{65^{s}}+\dots\)</big> Odečtením dostaneme :<big>\((1-\frac{1}{5^{s}})(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=1+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\dots\)</big> Je vidět, že při odčítání pravých stran vynecháváme samotné prvočíslo spolu s jeho násobky. Kdybychom v tomto postupu pokračovali až do nekonečna, je zřejmé, že dojdeme k rovnosti :<big>\(\dots (1-\frac{1}{11^{s}})(1-\frac{1}{7^{s}})(1-\frac{1}{5^{s}})(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})\zeta(s)=1\)</big> Vydělením obou stran této rovnice postupně všemi výrazy v závorkách dostaneme výsledný vzorec, který jsme chtěli dokázat :<big>\(\zeta(s)=\frac{1}{1-\frac{1}{2^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{3^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{5^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{7^{s}}}\frac{1}{1-\frac{1}{11^{s}}}\dots=\prod_{p}(1-p^{-s})^{-1}\)</big> Jak součet na levé straně, tak i součin na pravé pokračují do nekonečna. To ve skutečnosti poskytuje důkaz, že prvočísel je nekonečně mnoho. Kdyby jich totiž byl konečný počet, pak by i součin na pravé straně měl konečný počet členů a pro každé číslo s by měl určitou konečnou hodnotu. Když s = 1, pak na levé straně dostaneme harmonickou řadu, která diverguje. A protože nekonečno na levé straně rovnice se nemůže rovnat konečnému číslu napravo, musí být prvočísel nekonečně mnoho. == Rozšíření definičního oboru == Nekonečná řada může definovat funkci jen na části jejího definičního oboru a právě tohle platí i pro funkci zeta ve smyslu [[analytické prodloužení|analytického prodloužení]] původní Dirichletovy řady. Funkce zeta má totiž konečné hodnoty pro všechny [[komplexní čísla|komplexní]] argumenty s ≠ 1. Nyní se podívejme na základní myšlenku, jak zjistit hodnoty funkce <big>\(\zeta (s)\)</big> pro s < 1. Nejdříve zavedeme novou funkci :<big>\(\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^{s}}=1-\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}-\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{5^{s}}-\dots\)</big> Tato nekonečná řada se nazývá ''alternující řada'' a konverguje pro s > 0. <br /> Řadu <big>\(\eta(s)\)</big> můžeme zapsat jako :<big>\(\Big(1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\dots\Big)\)</big> minus :<big>\(2\Big(\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+\frac{1}{10^{s}}+\dots\Big),\)</big> kde první závorka je vlastně <big>\(\zeta(s)\)</big>. Vytknutím <big>\(1/2^{s}\)</big> z druhého výrazu a úpravou dostaneme :<big>\(\eta(s)=\zeta(s)-2\frac{1}{2^{s}}\zeta(s)=\zeta(s)\Big(1-2\frac{1}{2^{s}}\Big).\)</big> Vyjádřením <big>\(\zeta(s)\)</big> dojdeme ke vztahu :<big>\(\zeta(s)=\frac{\eta(s)}{1-\frac{1}{2^{s-1}}}\)</big> ze kterého dokážeme vypočítat hodnoty <big>\(\zeta(s)\)</big> pro s mezi 0 a 1. V 0 je hodnota funkce zeta rovna -1/2. Nyní se podívejme, jak je to s argumenty funkce zeta, které jsou menší než 0. V&nbsp;Riemannově článku z roku 1859 je důkaz formule, kterou poprvé navrhl Leonhard Euler v roce 1749 a která vyjadřuje <big>\(\zeta(1-s)\)</big> pomocí <big>\(\zeta(s)\)</big>: :<big>\(\zeta(1-s)=2^{1-s}\pi^{-s}\sin\Big(\frac{1-s}{2}\pi\Big)(s-1)!\zeta(s).\)</big> Tímto vztahem vypočítáme hodnoty funkce zeta pro záporná celá čísla s. <br /> Abychom však mohli spočítat hodnoty funkce zeta pro všechna reálná s < 0, musíme použít následující vzorec :<big>\(\pi^{-s/2}\Gamma\Big(\frac{s}{2}\Big)\zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\Gamma\Big(\frac{1-s}{2}\Big)\zeta(1-s),\)</big> který dokázal Bernhard&nbsp;Riemann v roce 1859. Velké písmeno [[Řecká abeceda|řecké abecedy]] <big>\(\Gamma\)</big> v této rovnici je funkce [[Gama funkce|gamma]], která je rozšířením [[faktoriál]]u do reálných a komplexních čísel. ;Vybrané hodnoty analytického prodloužení: * <big>\(\zeta(-1) = -\tfrac{1}{12}\)</big> * <big>\(\zeta(0) = -\tfrac{1}{2};\)</big> * <big>\(\zeta\left(\tfrac12\right) = -1,4603545...\)</big><ref>SLOANE N. J. A.: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, poslounost A059750. [https://oeis.org/A059750 Dostupné online] (anglicky)</ref> * pro ''s'' = 1 diverguje: <big>\(\zeta(1) = \infty;\)</big>. == Nulové body == {{Viz též|Riemannova hypotéza|Věta o kritické přímce}} Nulové body Riemannovy funkce zeta jsou taková komplexní čísla ''s'', pro která <big>\(\zeta (s) = 0\)</big>. Lze je rozdělit na * triviální – všechna [[Sudá a lichá čísla|sudá]] [[záporné číslo|záporná]] [[celé číslo|celá čísla]] * netriviální – ostatní, leží v tzv. ''kritickém pásu'', což je množina komplexních čísel, jejichž [[reálná část]] leží v otevřeném intervalu ''(0, 1)''. Podle [[Riemannova hypotéza|Riemannovy hypotézy]] leží všechny netriviální nuly na tzv. ''kritické přímce'', což je přímka tvořená [[komplexní číslo|komplexními čísly]] s [[reálná část komplexního čísla|reálnou částí]] rovnou 1/2. Netriviální nulové body velice úzce souvisí s rozložením [[Prvočíslo|prvočísel]] mezi [[Přirozená čísla|přirozenými čísly]]. == Reference == <references /> == Literatura == * {{citace monografie | jméno = John | příjmení = Derbyshire | titul = Posedlost prvočísly | vydavatel = Academia | místo = Praha | rok = 2007 }} * {{citace monografie | jméno = Keith | příjmení = Devlin | titul = Problémy pro třetí tisíciletí | vydavatel = Argo, Dokořán | místo = Praha | rok = 2005 }} {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Matematické funkce]]

Návrat na stránku „Riemannova funkce zeta“.