Návštěvnost dne 8. března 2026 byla — 612 557 unikátních návštěvníků !
Návštěvnost dne 9. března 2026 byla — 590 729 unikátních návštěvníků !
Návštěvnost dne 10. března 2026 byla — 657 697 unikátních návštěvníků !
Tenzor
Z Multimediaexpo.cz
Tenzor je v matematice objekt, který je zobecněním pojmu vektor. Zatímco složky vektoru je možné označit jedním indexem, tenzor může mít více indexů, např. \(T_{kl \cdots n}\).
Jako tenzor T se označuje soubor reálných a nebo komplexních čísel \(T_{{i_1}{i_2} \cdots {i_n}}\) (počet indexů je n), které se nazývají složky (komponenty) tenzoru a které se při transformaci souřadnic \(x_i^\prime = \sum_j a_{ij} x_j\) transformují následujícím způsobem:
- \(T_{{i_1}{i_2} \cdots {i_n}}^\prime = \sum_{{k_1}{k_2} \cdots {k_n}} a_{{i_1}{k_1}} a_{{i_2}{k_2}} \cdots a_{{i_n}{k_n}} T_{{k_1}{k_2} \cdots {k_n}}\)
Tato transformace tenzorů je multilineární zobrazení, tedy zobrazení, které je lineární v každé složce. Podobně jako vektor je tenzor, jakožto samostatný objekt vůči reprezentaci v dané soustavě souřadnic invariantní. Jeho složky (tedy konkrétní reprezentace) však, stejně jako u vektoru, závisí na volbě souřadnic.
Pokud n je počet indexů tenzoru T, nazýváme T tenzorem n-tého řádu. Rozlišujeme pak dále indexy kovariantní (dolní) a kontravariantní (horní). Má-li tenzor n kovariantních a m kontravariantních složek, jeho index je n+m a jedná se o tenzor typu (n,m). Metrický tenzor \(g_{\mu\nu}\) má dvě kovariantní složky, jeho index je tak 2 a typ (0,2). Důvodem pro rozlišování kovariantních a kontravariantních složek je jejich vzájemná odlišnost v transformačních pravidlech.
Část matematiky, která při své práci používá tenzory, se označuje jako tenzorový počet. Tenzory se uplatňují nejen v matematice, ale i ve fyzice.
Máme-li např. dva vektory \(\mathbf{A}, \mathbf{B}\), můžeme z nich vytvořit tenzor druhého řádu, jehož složky budou určeny vztahem \(T_{ij} = A_i B_j\). Tenzorový charakter je možné ověřit na základě transformačních pravidel pro vektory, tzn.
- \(T_{kl}^\prime = A_k^\prime B_l^\prime = \left(\sum_i a_{ki} A_i\right)\left(\sum_j a_{lj} B_j\right) = \sum_{i,j} a_{ki} a_{lj} A_i B_j = \sum_{i,j} a_{ki} a_{lj} T_{ij}\)
Speciálními případy tenzorů jsou tenzory nultého řádu, které se označují jako skaláry, a tenzory prvního řádu, tedy vektory.
Ve fyzice se tenzory druhého řádu obvykle reprezentují jako matice, ale ne všechny matice jsou fyzikálně smysluplnými tenzory.[1]
Obsah |
Definice
Mějme vektorový prostor \(\mathbf{V}\) nad tělesem \(\mathbb{F}\) a k němu jeho duální prostor \(\mathbf{V^*}\). Tenzor \(T\) typu (n,m) je zobrazení
\(T_{m}^{n}:\mathbf{V^*}\times\cdots\times\mathbf{V^*}\times\mathbf{V}\times\cdots\times\mathbf{V}\to\mathbb{F}\)
(\(\mathbf{V}\) m-krát \(\mathbf{V^*}\) n-krát), které je lineární v každém ze svých n+m argumentů.
Je nutné dodat, že pořadí vektorového prostoru po jeho duálu je častější v anglické literatuře a naopak méně časté v české.
Související články
Reference
- ↑ Are Square Matrices Always Tensors?: A Counter Example [online]. Andrew Dotson – Youtube. Video. Dostupné online. (en)
Externí odkazy
|
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |